By Alfio Quarteroni, Fausto Saleri, Paola Gervasio
Questo testo ? espressamente concepito consistent with i corsi brevi del nuovo ordinamento delle Facolt` di Ingegneria e di Scienze. Esso affronta tutti gli argomenti tipici della Matematica Numerica, spaziando dal problema di approssimare una funzione, al calcolo dei suoi zeri, delle sue derivate e del suo integrale definito fino alla risoluzione approssimata di equazioni differenziali ordinarie e di problemi ai limiti. Due capitoli sono inoltre dedicati alla risoluzione di sistemi lineari ed al calcolo degli autovalori di una matrice, mentre un capitolo iniziale conduce lo studente advert un rapido ripasso degli argomenti dell'Analisi Matematica di uso frequente nel quantity e advert una introduzione al linguaggio Matlab. I vari argomenti sono volutamente affrontati a livello elementare. Al tremendous di rendere maggiormente incisiva los angeles presentazione ? stato fatto uso del programma Matlab, tramite il quale si mostra come rendere esecutivi tutti gli algoritmi che through through si introdurranno, oltre a fornire un riscontro quantitativo immediato alla teoria. Vengono inoltre proposti numerosi esercizi, tutti risolti consistent with esteso, ed esempi, anche con riferimento a specifiche applicazioni. I programmi Matlab presenti nel testo si possono scaricare dalla pagina internet mox.polimi.it/qs. In questa quarta edizione il linguaggio Octave (di distribuzione gratuita) si affianca a MATLAB. Dopo una introduzione in cui si evidenziano le numerosissime analogie e i punti di divergenza pi? significativi fra i due linguaggi, tutti i programmi presentati sono stati resi compatibili anche con Octave. Inoltre sono country effettuate numerose integrazioni al capitolo relativo all'approssimazione con differenze finite ed elementi finiti di problemi ai limiti, sia stazionari che evolutivi.
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Example text
Dove n e k sono numeri naturali con k ≤ n. 14 Si realizzi una function che calcola l’elemento fn della successione di Fibonacci in forma ricorsiva. 14) fi−1 fi−2 10 si realizzi un’altra function MATLAB che calcola fn sfruttando questa relazione. Si confrontino i relativi tempi di calcolo. 2 Equazioni non lineari Il calcolo degli zeri di una funzione f reale di variabile reale o, equivalentemente, delle radici dell'equazione f(x) = 0, è un problema assai ricorrente nel Calcolo Scientifico. In generale non è possibile approntare metodi numerici che calcolino gli zeri di una generica funzione in un numero finito di passi.
In tal modo, essa potr`a essere manipolata algebricamente senza dover essere necessariamente valutata. Ad esempio, per calcolare la derivata, l’integrale indefinito ed il polinomio di Taylor del quint’ordine della funzione f (x) = (x2 +2x+2)/(x2 − 1), basta digitare i comandi syms >> f = ’( x ^2+2* x +2)/( x ^2 -1) ’; >> syms x >> diff ( f ) (2* x +2)/( x ^2 -1) -2*( x ^2+2* x +2)/( x ^2 -1)^2* x >> int ( f ) x +5/2* log (x -1) -1/2* log (1+ x ) >> taylor (f ,x ,6) -2 -2* x -3* x ^2 -2* x ^3 -3* x ^4 -2* x ^5 Con il comando simple `e possibile semplificare le espressioni generate da diff, int e taylor in modo da renderle pi` u semplici possibile.
3. Prime iterate generate dal metodo di Newton a partire dal dato iniziale x(0) per la funzione f (x) = x + ex + 10/(1 + x2 ) − 5 purch´e f (x(k) ) = 0. 7) consente di calcolare una successione di valori x(k) a partire da un dato iniziale x(0) . 3). 8) dove δ (k) = x(k+1) − x(k) . 7). 8). 7) converge allo zero in un solo passo quando f `e lineare, cio`e della forma f (x) = a1 x + a0 . 3. Il metodo converge allo zero cercato e dopo 6 iterazioni la differenza fra due iterate successive `e minore di 10−12 .