By Walter Strampp
Dieser Übungsband zur Grundvorlesung Lineare Algebra besteht aus drei Komponenten:
- Ein theoretischer Vorspann vor jedem Kapitel enthält die wichtigsten Sätze und Begriffe als Repetitorium.
- Die Aufgaben reichen in drei Stufen von der Einübung über die Festigung eines Begriffes bis zu anwendungsorientierten Problemstellungen.Sie wurden in Lehrveranstaltungen und Klausuren erprobt. Die angegebenen Lösungen sollten als Vorschläge und Hinweise verstanden werden , die oft ergänzt, optimiert und abgekürzt werden können.
- Der Einsatz von Mathematica und Maple ist als Unterstützung für das interaktive Selbststudium gedacht und soll Anregungen und Vorschläge für eigene Experimente geben. Durch den Umgang am Rechner werden die Begriffe der konkreten Anwendung zugänglich gemacht.
Die Aufgabenstellungen sowie die Mathematica- und Maple-Rechnungen werden ins web gestellt, so daß die Benutzer leicht zu jeder Aufgabe die entsprechenden Computerrechnungen auffinden und ergänzen können. In der Kombination aus Buch und net entsteht somit ein flexibles, modernes Lernmittel zur Wiederholung und Einübung des Stoffs von zentralen Gebieten der Linearen Algebra.
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Example text
Die Geraden sind parallel. Sonderfall: Der Punkt mit dem Ortsvektor ;2 Iiegt auf der Geraden 81: 12 = ;1 + 12 al. das heifil, die Vekloren iii und;2 -;1 sind linear abhangig. Die Geraden sind gleich. ) Die Richtungsvektoren sind linear unabhangig. und die Geraden schneiden sich in einem Punkt. ) Die Richtungsvektoren sind linear unabhangig. und die Geraden schneid en sich in keinem Punkt. Die Geraden sind windschief. 11 \ \ \ \ Abstand eines Punktes von einer Geraden Der Abstand zweier windsehiefer Geraden gl : rl = rl g2 : r2 = r2 + 2 betriigt: sa + tal und Abstand zweier windschiefer Geraden Abstand zweier windschiefer Geraden Dureh einen Punkt Po und zwei linear unabhiingige Vektoren b wird eine Ebene festgelegt.
Man bestimme den Abstand des Punktes Po von g und den FuBpunkt des Lots auf g. 24 Losung: Die Gerade g hat die Parameterdarstellung: OPI + t Pl~P2 = (-3, -I, -2) + t (7, -3,3). Wir suchen nun einen Punkt PF, der auf g liegt, und die folgende Eigenschaft besitzt: POPF PjP2 = O. Das heiSt, POPF steht senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden g. Offenbar stellt PF den FuSpunkt des Lotes dar und POPF einen Richtungsvektor des Lotes. Mit einem t F gilt dann: POPF = (-3, -I, -2) und «-3, -I, -2) + tF (7, -3, 3) +tF (7, -3, 3» Hieraus folgt sofort 67tF - 24 = 0 und tF = (7, -3, 3) = O.
3 Das vektorielle Produkt Wir betrachten nun die geometrischen Eigenschaften des vektoriellen Produkts. Die Lange des vektoriellen Produkts ii x b iSl gleich dem Flaeheninhalt des von den Vektoren und b aufgespannten Parallelogramm : a Lange des vektoriellen Produkts llii x hll = llii ll llhil sin(a(a, b)), axb b ,, , , ,, Vektorielles Produkt der Vektoren ii und b ,, ,, _________________________ __ _ _ ____________ J , Die Richtung des vektoriellen Produkts ergibt sich mit der folgenden Regel: a, Die Vektoren b und ii x b konnen wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der reehlen Hand angeordnet werden.