By Josef Trölß
Das Buch richtet sich an Sch?ler, Studenten, Naturwissenschaftler sowie Anwender, die sich ?ber die Umsetzung mathematischer Probleme im Bereich der Potenzreihen, Taylorreihen, Laurentreihen, Fourierreihen, Fourier- und Laplace-Transformation, z-Transformation, Differentialgleichungen und Differenzengleichungen informieren und die Vorz?ge von Mathcad nutzen m?chten. Es stellt die theoretischen Grundlagen zusammenfassend dar und bietet in der three. Auflage noch mehr Beispiele. Au?erdem wurde es entsprechend der Mathcad model 14 ?berarbeitet.
Read Online or Download Angewandte Mathematik mit Mathcad. Lehr- und Arbeitsbuch: Band 4: Reihen, Transformationen, Differential- und Differenzengleichungen, 3. Auflage PDF
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3 5 7 © 1 ¹ © 2 4 6 ¹ 1 3 5 7 Durch gliedweises Ausmultiplizieren der linken Seite und anschließendem Koeffizientenvergleich entsprechender Potenzen mit der rechten Seite a1 a3 a1 a5 a3 a1 1 1 1 ; a5 ; a7 usw. a1 = 1 ; a3 = = = 2 2 4 2 4 6 3 5 7 erhalten wir schließlich die Reihe für tan(x). Sie konvergiert für |x| < S/2. 17: Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = arctan(x)? Berechnen Sie näherungsweise die Zahl S. f ( x) = arctan ( x) x0 0 gegebene Funktion und Entwicklungsstelle Seite 37 Taylorreihen 3 5 x 7 x 9 x 11 x 13 x x p ( x) atan ( x) Reihen x = x0 14 o x 3 5 7 9 11 13 ∞ arctan ( x) = ¦ n 0 ª n x2n1 º «( 1) » 2 n 1¼ ¬ Taylorreihe für arctan(x).
C) Wie lautet das Restglied nach Lagrange für diese Reihe? d) Stellen Sie die Funktion und die Näherungspolynome bis zum 7. Grad grafisch dar. e) Stellen Sie den absoluten Fehler im Vergleich von Funktion und Taylorpolynome grafisch dar. f ( x) cos ( x) f ( x) = f ( 0) gegebene Funktion und Entwicklungsstelle x0 0 f ' ( 0) 1 x f '' ( 0) 2 f ''' ( 0) 2 x 3 Entwicklung der Funktion an der Stelle x 0 = 0 x .... 3 Entwicklung an der Stelle 0 mit Mathcad (Menü-Symbolik-Variable-Reihenentwicklung): 2 konvertiert in die Reihe cos ( x) x 1 2 4 x 24 6 8 x x 720 40320 Symboloperator und Schlüsselwort-Reihe: Redefinition x x 2 cos ( x) Reihen x 10 o 1 x 2 4 x 24 6 2 x 720 8 4 x Entwicklung an der Stelle x0 = 0 40320 6 8 x x x x cos ( x) Reihen x = x0 10 o 1 2 24 720 40320 ∞ f ( x) = cos ( x) = ¦ n 0 ª( 1) n 1 x2nº « » ( 2 n) ¬ ¼ Entwicklung an der Stelle x0 Taylorreihe für cos(x) (enthält nur gerade Glieder) Die Kosinusreihe erhalten wir auch durch Differentiation der Sinusreihe.
01 2 1 ln( 1 x) 1 1 0 1 ln( 1 x) 1 p2( x) 0 1 p3( x) 1 1 2 2 x x Abb. 13 Abb. 16: Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = tan(x)? f ( x) = tan ( x) x0 0 gegebene Funktion und Entwicklungsstelle Redefinition x x 3 5 7 9 11 x 2 x 17 x 62 x 1382 x tan ( x) Reihen x = x0 14 o x 15 315 2835 155925 3 3 sin ( x) 5 7 9 13 11 x 2 x 17 x 62 x 1382 x Reihen x = x0 14 o x cos ( x) 15 315 2835 155925 3 21844 x 6081075 13 21844 x 6081075 Die Taylorreihe für tan(x) kann damit auch durch die gliedweise Division von Sinus- und Kosinusreihe gefunden werden.