By Prof. Dr. Michael Růžička (auth.)
Das vorliegende Lehrbuch enthält eine Einführung in die nichtlineare Funktionalanalysis. Die Themenauswahl beinhaltet Methoden und Techniken, die, neben dem allgemeinen Interesse, bei der Untersuchung von nichtlinearen elliptischen und parabolischen partiellen Differentialgleichungen benutzt werden. Es wird insbesondere auf Fixpunktsätze, Differentiation und Integration in Banachräumen, monotone Operatoren und den Abbildungsgrad eingegangen. Der Darstellung des Stoffes liegt das Zusammenspiel und die gegenseitige Beeinflussung von Theorie und Anwendungen zugrunde. Kurze Einführungen am Kapitelanfang, illustrative Beispiele sowie die detaillierte Herleitung von Ergebnissen erleichtern das Verständnis. Ein Appendix mit einer Kurzzusammenfassung von Ergebnissen aus der linearen Funktionalanalysis rundet die Darstellung ab. Das Buch richtet sich an Studierende ab dem 6. Semester und umfasst den Lehrstoff für ein Semester.
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3 gibt es eine ur fast alle s ∈ S gilt: Folge (fn ) von Treppenfunktionen, so dass f¨ fn (s) → f (s) in X , (n → ∞) . Da starke Konvergenz in X schwache Konvergenz in X impliziert (cf. 6 (ii)), folgt damit auch, dass f¨ ur alle F ∈ X ∗ und fast alle s ∈ S gilt: F, fn (s) → F, f (s) (n → ∞) . 9) Offensichtlich sind F, fn (·) : S → R Treppenfunktionen mit Werten in R. 9) impliziert, dass F, f (·) : S → R Lebesgue–messbar ist. 2. 1] nachgelesen werden. Die Voraussetzung der Separabilit¨at von X kann man abschw¨ achen.
Also ist f (·) Lebesgue–integrierbar. 2. Sei f Bochner–messbar und sei f (·) X : S → R Lebesgue–integrierbar. ullt. 13) erf¨ definieren gn (s) := fn (s) , falls fn (s) ≤ 3 2 f (s) , 0, falls fn (s) > 3 2 f (s) . 1 Bochner–Integrale 37 Offensichtlich sind auch gn , n ∈ N, Treppenfunktionen und f¨ ur fast alle s ∈ S gilt: lim gn (s) − f (s) = 0 . h. die Folge reellwertiger Funktionen gn (·)−f (·) besitzt eine Lebesgue– integrierbare Majorante. Nach dem Satz von Lebesgue u ¨ber majorisierte Konvergenz (cf.
N , die gew¨ unschte Zerlegung der Eins ist, denn es gilt: (α) Aufgrund von (a) und (c) sind die Funktionen λi , i = 1, . . , N , stetig. 43) f¨ ur alle x ∈ M : 0 ≤ λi ≤ 1 . 43) haben wir f¨ ur alle x ∈ M : λi (x) = 1 . i=1 (δ) Aus λi (x) > 0 folgt T x − yi Y < 1 n. Nun setzen wir Mn = co(y1 , . . , yN ) ⊆ span(y1 , . . , yN ) und definieren den so genannten Schauderoperator Pn : M → Mn durch: N Pn (x) := λi (x) yi . 44) i=1 Wir zeigen, dass Pn die gew¨ unschten Approximationseigenschaften hat.