By Klaus Gürlebeck, Klaus Habetha, Wolfgang Sprössig
Die Funktionentheorie einer komplexen Variablen hat heute h?her-dimensionale Analoga: dabei wird die Algebra der komplexen Zahlen durch die nicht-kommutative Algebra der reellen Quaternionen bzw. Clifford-Algebren ersetzt. In den letzten 30 Jahren hat sich die so genannte Quaternionen- und die reelle Clifford-Analysis erfolgreich entwickelt. Eine Vielzahl von Anwendungen haben diese Funktionentheorie h?her-dimensionaler Variablen zu einem wichtigen device der research und deren Anwendungen in der mathematischen Physik werden lassen. Das Buch reflektiert den neuesten Stand der Forschung und entwickelt sowohl die h?her-dimensionalen Ergebnisse als auch die klassischen komplexen Resultate aus einem einheitlichen Begriff der Holomorphie. Der fundamentale Begriff der holomorphen Funktion als L?sung des Cauchy-Riemann-Systems wird im H?her-dimensionalen unter Beibehaltung der Bezeichnung als L?sung eines entsprechenden structures partieller Differentialgleichungen 1. Ordnung verstanden. Historische Bemerkungen, zahlreiche Beispiele, viele Abbildungen sowie eine angemessene Auswahl von ?bungsaufgaben festigen und erweitern die erworbenen Kenntnisse. Das vorliegende Buch ist f?r Studenten der Mathematik, Physik und mathematisch orientierten Ingenieurstudenten im Grund- und Fachstudium geeignet. Es kann auch als Grundlage von Proseminaren oder Seminaren dienen. Die beiliegende CD enth?lt eine umfangreiche Literaturdatenbank sowie ein Maple-Package, das die im Buch eingef?hrten Werkzeuge und Methoden als Kommandos bzw. vorgefertigte Prozeduren enth?lt. Einige Beispiel-Worksheets unterst?tzen die Einarbeitung in das package deal.
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Q” bzw. q” abgekürzt. R. Hamilton kreierte diese Symbole nur, um eine schnelle Separierung von Realund Imaginärteil einer Quaternion zu erreichen. Wenn man etwa die zwei Vektoren v = ix + jy + kz und v = ix + jy + kz betrachtet und deren Quaternionenprodukt aufschreibt, so erhielt Hamilton geeignete Definitionen von Skalarprodukt und Kreuzprodukt. Diese hatten folgendes 2. vv = i(yz − zy ) + j(zx − xz ) + k(xy − yx ). vv eingeführt, während die Definition für das Kreuzprodukt unverändert gilt. Daher kann man Hamilton durchaus als Begründer der Vektorrechnung, dem späteren Konkurrenzunternehmen zum Quaternionenkalkül, ansehen.
Die Eigenschaften (i), (ii) und (iv) gelten weiter, während (iii) durch Rx˜x = Rx˜ Rx zu ersetzen ist. Weitere Matrixdarstellungen in R4×4 sind möglich, sollen aber hier nicht erörtert werden. Folgen wir weiter den Ausführungen in [94], so kann gezeigt werden, dass Le1 Le2 Le3 = −E, Re1 Re2 Re3 = E ist, wobei E die Einheitsmatrix im R4×4 bezeichnet. Die beiden Mengen {Lx ∈ R4×4 : x ∈ H} und {Rx ∈ R4×4 : x ∈ H} bilden zu H isomorphe Unteralgebren von R4×4 . Quaternionen können auch mittels Matrizen aus C2×2 dargestellt werden.
Als dritte und letzte Möglichkeit kann die Drehmatrix zwei Paare konjugiert komplexer Eigenwerte haben, in den von den zugehörigen Eigenvektoren aufgespannten, aufeinander senkrechten Ebenen wird um einen geeigneten Winkel gedreht. Dieser Fall ist mit den vorherigen Betrachtungen nicht erfasst. Da sich jede Drehung als Komposition von Spiegelungen zusammensetzen lässt, gilt dies auch für alle Drehungen des R4 . 27 (Satz von Cayley). Die Drehungen von H sind genau die Abbildungen x → x = axb mit |a| = |b| = 1 und a, b ∈ H.