By Hermann Weyl
Dieser textual content ist die Transkription einer Vorlesung zur Funktionentheorie, die Hermann Weyl im Wintersemester 1910-11 an der Universit?t G?ttingen gehalten hat, kurz vor der Entstehung seines einflussreichen Buches ?ber Riemannsche Fl?chen, das auf der Fortsetzung dieser Vorlesung im Sommersemester 1911 beruht. Weyl betont in dieser Vorlesung die kinematische Deutung gebrochen-linearer Transformationen und die Beziehungen zwischen konformen Abbildungen und Str?mungstheorie. H?hepunkt der Vorlesung ist der Vergleich der Riemannschen und Weierstra?schen Behandlung mehrdeutiger analytischer Funktionen durch Riemannsche Fl?chen beziehungsweise analytische Fortsetzung.
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Die Frage, ob das bei beliebigen einparametrigen Gruppen möglich ist, hat Lie bejaht. 8. Grundlagen der Lie-Theorie 43 Γa Γb = Γc ist, wo sich c = ϕ(a, b) derart berechnen lassen muss. 27) ϕ(a, a0 ) = a, ϕ(a0 , b) = b. 30) sollen eindeutig nach χ und ζ auflösbar sein. ) Die Voraussetzung endlich, dass die Transformationen Γ dem assoziativen Gesetz gehorchen sollen, können wir in einer der Formen schreiben: oder oder endlich (Γa Γb )Γc = Γa (Γb Γc ) Γϕ(a,b) Γc = Γa Γϕ(b,c) ϕ ϕ(a, b), c = ϕ a, ϕ(b, c) .
Sie finden sich eingehend dargelegt in den Werken von Lie und Lie-Scheffers. Ihre Hauptanwendung finden sie in der Theorie der Integration der Differentialgleichungen. Es soll hier aus dem angeführten Satze nur noch ein sehr wichtiger Schluss gezogen werden. Betrachten wir die linearen gebrochenen Substitutionen in ihrer 3 Damit ist gemeint, dass alle eingliedrigen Untergruppen zur Schiebungsgruppe isomorph sind. 9. Invarianz des Doppelverhältnisses 45 allgemeinen Form, wie sie zunächst vorliegen können, so wird das Resultat zweier von ihnen gewöhnlich von der Reihenfolge abhängen.
Alsdann entspricht dem unendlich fernen Punkt der z-Ebene ein endlicher Punkt U ′ der z ′ -Ebene. Dem Punkt U ′ wollen wir nun durch stereographische Projektion einen Punkt U ′′ auf der Einheitskugel zuordnen, die wir im Nullpunkt der z ′ -Ebene auf diese aufzulegen haben. 15: Veranschaulichung der Zuordnung Nun führen wir die Hilfsebene III ein, die die II berührende Kugel im Gegenpunkt von U ′′ tangiert. Jetzt ist Folgendes erreicht: Dem unendlich fernen Punkt der Ebene I (oder dem Kugelpunkt N ) ist der Punkt U ′ , diesem U ′′ , diesem endlich der unendlich ferne Punkt von III zugeordnet.