By Ernst Hairer, Gerhard Wanner, Andreas Lochmann

Diese Einführung in die research orientiert sich in ihrem Aufbau an der zeitlichen Entwicklung der Themen. Die ersten zwei Kapitel schlagen den Bogen von historischen Berechnungsmethoden praktischer Problemen hin zu unendlichen Reihen, Differential- und Integralrechnung und zu Differentialgleichungen. Das Etablieren einer mathematisch stringenten Denkhaltung im 19. Jahrhundert für research ein und mehrerer Variablen wird in den Kapiteln III und IV behandelt. Viele Beispiele, Berechnungen und Bilder ergänzen das Buch und machen es zu einem Lesevergnügen für Studierende, Lehrer und Forscher. Aus den Besprechungen: the purpose of this attention-grabbing new contribution to the sequence Readings in arithmetic is an try and restoration the historic order within the presentation of easy mathematical analysis...such a old process gives you a truly fruitful and fascinating method of mathematical research. Jean Mawhin, Zentralblatt The authors comprise loads of once-traditional matters that have now vanished from the research curriculum. ...The paintings is particularly good illustrated. The e-book is well an research textual content, instead of a heritage, yet loads of trustworthy ancient fabric is incorporated. For these looking a substitute for the conventional process, it sort of feels to me to be of significant curiosity. Thomas Archibald, Mathematical experiences The authors...have assembled a powerful array of annotated effects, quotations, tables, charts, figures and drawings, many copied from unique documents....they write with nice enthusiasm and with obtrusive affection for either research and heritage. John Troutman, American Mathematical Monthly

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Die Gesamtarbeit, die f¨ur eine umfangreiche Tabelle notwendig ist, u¨ bertrifft jede Vorstellung. 2 Abb. 3 mit Erlaubnis der Bibl. Publ. Univ. Gen`eve. 34 I. Einf¨uhrung in die Analysis des Unendlichen ABB. 3. 3 Logarithmen und Fl¨achen 35 Interpolation. Ein wichtiges Werkzeug zur schnellen Berechnung von Logarithmen war in der damaligen Zeit die Interpolation. Angenommen, wir haben bereits vier Werte von log10 berechnet. Wir k¨onnen leicht ihr Differenzenschema berechnen: log(44) = 1,6434526765 0,0097598373 0,0095453179 −0,0002145194 0,0093400262 −0,0002052917 log(45) = 1,6532125138 log(46) = 1,6627578317 0,0000092277 .

Ersetzen wir schließlich y durch x, f¨uhrt uns dies zu den folgenden Formeln (Newton 1669, Leibniz 1691, Jak. 17) x2 x4 x6 x8 + − + −... 2! 4! 6! 8! x3 x5 x7 x9 sin x = x − + − + −... 3! 5! 7! 9! 1 skizziert; der obige Beweis stammt von Jak. Bernoulli und Eulers Introductio, §134. Bemerkung. Es bedarf eigentlich einer gr¨oßeren Sorgfalt, wenn wir cos(y/N ) f¨ur große N durch 1 ersetzen wollen, da dieser Ausdruck in der N -ten Potenz auftritt. 3). Die Rettung kommt hier aus der Tatsache, dass cos(y/N ) schneller gegen 1 strebt als 1 + y/N .

Dies bedeutet, dass die Funktion ln(a) = Fl¨ache (1 → a) die Identit¨at ln(a) + ln(b) = ln(a · b) erf¨ullt und folglich ein Logarithmus ist (der nat¨urliche“ Logarithmus). ” Die Mercator-Reihe. Wenn wir den Ursprung um 1 verschieben, sehen wir, dass ln(1 + a) die Fl¨ache unter 1/(1 + x) zwischen 0 und a ist. Wir ersetzen 1/(1 + x) = 1 − x + x2 − x3 + . . 12) und f¨ugen f¨ur die Fl¨achen unter 1, x, x2 , . . 2 ein: a2 a3 a4 , , , ... 2 3 4 (siehe Abb. 6). Auf diese Weise finden wir, wenn wir noch a durch x ersetzen (N.

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